Quantum Physics – RGPV Engineering Physics Notes

background image

 

UNIT – 1  

 

QUANTUM PHYSICS 

Unit-01/Lecture-01 

 

Concept of matter waves 

Louis de Broglie made the suggestion that particles of matter, like electrons, might possess 
wave properties and hence exhibit dual nature. His hypothesis was based on the following 
arguments: 

 

The Planck’s  theory  of  radiation  suggests  that  energy 

 

is quantized and is given by 

 

E = h

ν 

(1)

 

 

where ν is the frequency associated with the radiation. 

Einstein’s mass-energy relation states that 
                      

E = mc

2                                       (2)

 

Combining the two equations, it can be written as

 

E = h

ν = mc

 

Hence, the momentum associated with the photon is given by 

 

P = mc = h

ν/c = h/λ 

 

Extending this to particles, he suggested that any particle having a  momentum p is 
associated with a wave of wavelength given by 

 

λ = h/p 

(3)

 

 

This is called 

de  Broglie’s hypothesis  of matter waves and 

λ

 

is called the de Broglie 

wavelength. 
 

In case of charged particles like electrons, a beam of high energy particles can be 

obtained by accelerating them in an electric field. For example, an electron starting from 
rest when accelerated with a potential difference V, the kinetic energy acquired by the 
electron is given by 
 

(1/2)mv

2

  = eV

 

 

where  v  is  the  velocity  of  the  electron.  The  momentum

 may be calculated as 

 

p = mv = (2meV)

1/2

 

 

Using

 

the de Broglie equation, the wavelength

 associated with the accelerated electron can 

be calculated as 

 

background image

 

λ = h/p = h/(2meV)

1/2

 

(4)

 

 

This equation suggests that, at a given speed, the de Broglie wavelength associated with 
the particle varies inversely as the mass of the particle. 
 
 

Definitions [Rgpv June 2011, Dec 2011 (7)] 

Wave Packet 

wave packet  consisting of waves of slightly differing wavelengths may represent the 

moving particle. Superposition of these waves constituting the wave packet results in the 

net amplitude  being  modified,  thereby  defining  the

 shape of the wave group. 

 
Phase velocity 
The velocity of a individual wave of a wave packet is known as Phase velocity. 
 
Group velocity 
Group velocity is the velocity with which the wave packet travels. 
 
Q. Derive the formula of Phase velocity and Group velocity and also find relation 
between them? 

A wave is represented by the formula 

 

y = A cos (

ωt – kx) 

(1)

 

 

where y is the displacement at any instant t, A is the 

amplitude  of  vibration,  ω  is  the  

angular  frequency

 equal to 2πν and k is the wave vector, equal to (2π/λ). The phase 

velocity of such a wave is the velocity with which a particular phase point of the wave 

travels. 
This corresponds to the phase being constant. 

 

i.e., (ωt – kx) = constant 

 

or

 

x = 

constant + ωt/k 

 

Phase velocity v

p

  = dx/dt =  

ω/k 

 

 

= 2

πν/(2π/λ) = λν 

(2)

 

 

v

p

 is called the ‘wave velocity’ or 

‘phase velocity’. 

 

For group velocity, consider the combination of two waves represented by the 

formula 

 
 

 

 

 

y

1

  = A cos (

ωt-kx) 

 

y

2

 = A cos {(

ω+∆ω)t – (k+∆k)x} 

background image

 

The resultant displacement is given by 

 
y

  = y

1

  + y

2

  

=

  2A cos {(

ω+ω+∆ω)t–(k+k+∆k)x} cos (∆ωt-∆kx)  

2

 

2

 

≈ 2A cos(ωt–kx).cos(∆ωt/2-∆kx/2) 

 

(3)

 

The  velocity  of  the  resultant  wave  is  given  by the speed with which a reference 

point, say the maximum amplitude point, moves. Taking the amplitude of the resultant 

wave as constant, 

2A cos(

∆ωt/2-∆kx/2) = constant 

 

or

 

(

∆ωt/2-∆kx/2) = constant 

 

or x = 

constant + (

∆ωt/∆k) 

 

Group velocity v

g

  = dx/dt = (

∆ω/∆k) 

(4)

 

 

Instead  of  two  discrete  values  for

  

ω  

and  k,

 

 

if the group of waves has a continuous spread from  ω  to  (ω+∆ω)  and  k  to 

(k+

∆k), 

then, the group velocity is given by 

 

v

g

 = d

ω 

(5)

 

d

k

 

 

 

It can be shown that the group velocity of the wave packet is equal to the velocity of the 
particle with which the wave packet is associated. 
 
 

S.NO 

RGPV QUESTIONS 

Year 

Marks 

Q.1 

What is eave packet? Define group velocity and 

phase velocity. Derive an expression for the de 

Broglie wavelength associated with an electron 

accelerated by the electric potential V. 

Dec 2011 

14 

Q.2 

Derive an expression for the group velocity and 

phase velocity. Also find relation between them. 

June 2011 

14 

 

 

 

 

background image

 

Unit-01/Lecture-02 

 

 

Relation   between   phase   velocity   and  group

  

velocity: [Rgpv June 2013(7)] 

 The mathematical relation for phase velocity given by 

 

v

p

  = 

ω/k  or   ω = k.v

p

 

 

The group velocity v

g

  is given by 

 

v

g

 = d

ω = d(k.v

p

) dk 

dk

 

 

=

  v

p

 + k.dv

p

 dk  

 
 

=

  v

p

  + (2

π/λ). dv

p

  

 

d(2

π/λ) 

 

= v

p

  + (2π/λ).(-λ

2

/2

π).dv

p

 

 

 

 

 

d

λ 

 

= v

p

  – 

λ. dv

p

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

d

λ 

 

 
In the above expression,  if  (dv

p

/d

λ) = 0, 

i.e., if the phase  velocity does not 

depend on wavelength, then the group velocity and phase velocity are equal. Such a 
medium is called a non-dispersive medium. In a dispersive medium,  (dv

p

/d

)  is 

positive and hence the group velocity is less than the phase velocity. 
 

Relation between  group  velocity  and  particle velocity (Velocity of de 

Broglie waves): 

The phase velocity of waves depends on the wavelength. This is responsible for the well 
known phenomenon of dispersion. In the case of light waves in vacuum, the phase 
velocity is same for all wavelengths. 

 

In the case of de Broglie waves, we have, 

 

ω = 2πν = 2πmc

2

/h =

 

2

πm

0

c

2

 

(1)

 

 

h(1-v

2

/c

2

)

1/2

 

 

and  k = 2

π/λ = 2πmv/h = 

2

πm

0

v

 

(2)

 

h(1-v

2

/c

2

)

1/2

 

The group velocity of de Broglie waves is given by 

 

V

g

  = d

ω/dk =  dω/dv 

dk/dv

 

 

 

background image

 

d

ω/dv = (2πm

0

c

2

/h).d(1-v

2

/c

2

)

1/2

  = 2

πm

0

v

 

(3)

 

dv

 

h(1-v

2

/c

2

)

3/2

  

dk/dv =  ____2

πm

0_____

 

 

(4)

 

h(1-v

2

/c

2

)

3/2

 

 

 

 

From equations 3 and 4 we get, 

 
 

v

g

  = v

 

 

Thus, the group velocity associated with de Broglie waves is just equal to the velocity 

with which the particle is moving. If we try to calculate the phase velocity, 

 

V

p

ω/k = c

2

/v = c

2

/v

g

 

(5)

 

 

Since the group velocity or the particle velocity is always less than c, the phase velocity of 
de Broglie waves turn out to be greater than c.  
 
 
 

S.NO 

RGPV QUESTIONS 

Year 

Marks 

Q.1  Define group velocity and phase velocity. Prove 

that for a relativistic particle and non- relativistic 

particle, phase velocity is not equal to particle 

velocity. 

June 2013 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

background image

 

Unit-01/Lecture-03 

  

Heisenberg Uncertainty Principle[ Rgpv Dec 2012(7)] 

 

This equation states that the product of uncertainty ∆x in the position of an object at some 

instant and the uncertainty in the momentum ∆p in the x-direction at the same instant is equal to 
or greater than ħ/2. 

 

∆x. ∆p ≥  ħ 

(1) 

 

 

 

 

Another form of uncertainty principle relates energy and time. In the atomic process, if 

energy E is 

emitted  as  an  electromagnetic  wave  during  an  interval 

of time ∆t, then, the uncertainty 

∆E in the measured value of E depends on the duration of the time interval ∆t according to the 
equation, 
 

∆E. ∆t 

≥ ħ/2 

           

(2)

 

 
 
 

Consider the combination of two waves represented by the formula 

 
 

 

 

 

y

1

  = A cos (

ωt-kx) 

 

y

2

 = A cos {(

ω+∆ω)t – (k+∆k)x} 

The resultant displacement is given by 

 
y

  = y

1

  + y

2

  

     = 2A cos {(

ω+ω+∆ω)t–(k+k+∆k)x} cos (∆ωt-∆kx)  

2

 

2

 

  ≈ 2A cos(ωt–kx).cos(∆ωt/2-∆kx/2)       

 

(3)

 

The  velocity  of  the  resultant  wave  is  given  by the speed with which a reference point, say 

the maximum amplitude point, moves. Taking the amplitude of the resultant wave as constant, 

2A cos(

∆ωt/2-∆kx/2) = constant 

 

or

 

(

∆ωt/2-∆kx/2) = constant 

for  maximum amplitude  cos(∆ωt/2-∆kx/2)=0 

Thus, 

(

∆ωt/2-∆

kx/2)= nπ/2. 

 

Let the displacement of two successive nodes be x1 and x2, then 

 (

∆ωt/2-∆kx1/2)= 

π/2 

(

∆ωt/2-∆kx2/2)= 

3π/2 

On solving, we get 
∆k(x2-

x1)= π 

background image

 

∆ x= 

π/∆k, where ∆k=2 π/λ 

 ∆ x=λ/2 

=h/2

∆p 

∆ x. ∆p= h/2 

Or 

∆ x. ∆

p≈ h 

This is the required principle. 
 

 

 

 

 

S.NO 

RGPV QUESTIONS 

Year 

Marks 

Q.1 

Explain the concept of wave packet and give the 

mathematical proof of Heisenberg’s uncertainty 

principle? 

Dec 2012 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

background image

 
 

Unit-01/Lecture-04 

  
Applications of uncertainty principle: [Rgpv June 2013(7)] 

(a). The uncertainty principle has far reaching implications. In fact, it has been very useful in 

explaining many observations which cannot be explained otherwise. A few of the applications of 

the uncertainty principle are worth mentioning 

 

We have the following ‘Thought experiment’ to illustrate the uncertainty principle. Imagine an 
electron being observed using a microscope.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
The process of observation involves a photon of wavelength λ incident on the electron and 
getting scattered into the microscope. The event may be considered as a two-body problem in 
which a photon interacts with an electron. The change in the velocity of the photon during the 
interaction may be anything between zero (for grazing angle of incidence) and 2c (for head-on 
collision and reflection). The average change in the momentum of the photon may be written as 
equal to (hν/c) or (h/λ).This difference in momentum is carried by the recoiling electron which 
was initially at rest. The change or uncertainty in the momentum of the electron may thus be 
written as (h/λ).  At the same time, the position of the electron can be 

determined to an 

accuracy limited by the resolving 

power of the microscope, which is of the order of λ. Hence, 

the product of the uncertainties in position and momentum is of the order of h. This argument 
implies that the uncertainty is associated with the measuring process. The illustration only 
estimates the accuracy of measurement, the uncertainty being inherent in the nature of the 
moving particles involved. 
 
 

background image

 
 
b). Diffraction of a beam of electrons: Diffraction of a beam of electrons at a slit is the effect of 
uncertainty principle. As the slit is made narrower, 
Thereby reducing the uncertainty  in the position of the electrons in the beam, the beam 
spreads even more indicating a larger uncertainty in its velocity or momentum. 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figure (2) shows the diffraction of an electron beam by a narrow slit of width ∆x. The beam 

travelling along OX is diffracted along OY through an angle θ. Due to the wave nature of the 
electron, we observe Fraunhoffer diffraction on the screen placed along XY. The accuracy with 
which the position of the electron is known is ∆x since it is uncertain from which place in the slit 
the electron passes. According to the theory of diffraction, we have 

 

λ = ∆x.sin θ 

or ∆x = λ/ sin θ  

 

Further, the initial momentum of the electron along XY was zero and after diffraction, the 

momentum of the electron is p. sin  θ  where p is the  momentum  of the electron along the 

incidence direction. Hence, the change in momentum of the electron along XY is p. sin  θ  or 
(h/

λ). Sinθ. 

Assuming the change in the momentum as representative of the uncertainty in 

momentum, we get 

 

∆x. ∆p

x

  =   

λ  .h.sin θ = h 

 

 

 

 

 

sin 

θ  λ 

 

(c). Electron cannot reside in nucleus: In beta decay, electrons are emitted from the nucleus of 
the radioactive element. Assuming the diameter of the nucleus to represent the uncertainty in 
the position of electron inside the nucleus, the uncertainty in the momentum can be calculated 
as follows: 

 

Radius of the nucleus = r = 5 x 10

-15

 m 

 

background image

10 

 

∆x = 2r = 10

-14

 m.

 

 

∆p = h/2π∆x = 6.62×10

-34

/(2×3.14×10

-14

) = 

1.055×10

-20

 kg m s

-1

 

 

 
Assuming that the electron was at rest before its emission, the change in momentum 

can be taken as equal to its momentum. This magnitude of change in momentum indicates large 
velocity for the electron. Hence, the energy of the emitted electron will be 

 

E

  = pc = 1.055×10

-20

  x 3×10

8

  = 3.165 x 10

-12

  J  

 

=  19.8 MeV.  

 
This indicates that the electrons inside the nucleus must have kinetic energy of 19.8 MeV. But 
the electrons emitted during beta decay have kinetic energy of the order of 1 MeV. This 
indicates that electrons do not exist in the nucleus of the atom but are ‘manufactured’ by the 
nucleus at the time of decay. 
 
 

 

 

 
 

 

S.NO 

RGPV QUESTIONS 

Year 

Marks 

Q.1 

State Heisenberg’s uncertainty principle and derive it 

from hypothetical gamma ray microscope? 

June 2013 

 

 

background image

11 

 

Unit-01/Lecture-05 

 

Compton Effect {Rgpv June 2012(7), Dec 2013 (7)] 

He discovered that “when a beam of monochromatic radiation (X-ray) of sharply defined frequency were 
incident on a material of low atomic number (like carbon), the ray suffered a change of frequency on 
scattering”. The scattered beam contains two wavelengths. In addition to the expected incident 
wavelength, there exists a line of longer wavelength. The change of wavelength is due to the loss of 
energy of the incident rays. This phenomenon is known as 

Compton Effect

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Let a photon of energy          collides with an electron at rest. During the collision it gives a small fraction 

of energy to the frequency of electron. The electron gains kinetic energy and recoils.  

 

 

Before collision   

i. 

Energy of incident photon  = 

ii. 

Momentum of  incident photon= 

iii. 

Rest mass of free electron=  

iv. 

Momentum of rest electron=0  

 

After collision 

i. 

Energy of scattered photon = 

ii. 

Momentum of scattered photon= 

iii. 

Energy of electron=  

iv. 

Momentum of recoil electron=mv  

 

ν

h

c

h

ν

2

0

c

m

ν

h

c

ν

2

mc

ν

h

background image

12 

 

 

Where  

 

 

 

 

 

Energy of system before collision= 

 

Energy of system after collision= 

 

Momentum before collision= momentum after collision 

 

 

Where, h is Planck’s constant. 

Before the scattering event, the electron is treated as sufficiently close to being at rest that its 

total energy consists entirely of the mass-energy equivalence of its rest mass 

m

                        

2

mc

E

=

 

 

Squaring and adding above eqs. 

 

 

 

 

According to the principle of conservation of energy, 
 

                                     𝐸𝐸 = ℎ(

ν

− ′) +

2

0

c

m

 

From relativistic mechanics, 𝐸𝐸 = �

2

2

c

p

+ m

0

2

c

4

 

On comparing above eq. ,we get  �ℎ(

ν

) +

2

0

c

m

2

=

2

2

c

p

+ m

0

2

c

4

 

+

+

)

2

(

2

2

2

νν

ν

v

h

m

0

2

c

4

+ 2h(

ν

ν

′)

2

0

c

m

=

2

2

c

p

+ m

0

2

c

4

 

 

      

2

2

c

p

=

+

+

)

2

(

2

2

2

νν

ν

v

h

2h(

ν

ν

′)

2

0

c

m

 

)

)(

(

2

)

cos

)

)(

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ν

ν

ν

θ

ν

ν

ν

h

h

h

v

h

h

h

h

v

h

+

=

+

+ 2h

ν

2

0

c

m

− 2h

ν

2

0

c

m

 

 

(ℎ𝜈𝜈)(ℎ𝜈𝜈

)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = (ℎ𝜈𝜈)(ℎ𝜈𝜈

) − ℎ𝜈𝜈𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

+ ℎ𝜈𝜈′𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

 

 

Dividing the above eq. by  (ℎ𝜈𝜈)(ℎ𝜈𝜈

), we get 

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 −

1

ℎ𝜈𝜈′ 𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

+

1

ℎ𝜈𝜈 𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

 

1

ℎ𝜈𝜈′ 𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

1

ℎ𝜈𝜈 𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

= 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 

1

𝜈𝜈′ −

1
𝜈𝜈 =

𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 

 

ν

ν

2

0

c

m

h

+

ν

2

‘ mc

h

+

ν

2

2

0

‘ mc

h

c

m

h

+

=

+

ν

ν

2

2

0

1

c

v

m

m

=

φ

θ

ν

ν

cos

cos

0

mv

c

h

c

h

+

+

=

+

θ

ν

φ

cos

cos

h

hv

pc

=

θ

ν

φ

sin

sin

h

pc

=

2

2

2

2

)

sin

(

)

cos

(

θ

ν

θ

ν

h

h

hv

c

p

+

=

)

cos

)

)(

(

2

sin

cos

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

θ

ν

ν

ν

θ

ν

θ

ν

θ

νν

h

h

h

v

h

h

h

h

v

h

+

=

+

+

=

E

h

c

m

h

+

=

+

2

0

ν

ν

background image

13 

 

 

𝑐𝑐 = 𝜈𝜈

λ

          𝑐𝑐𝑜𝑜  𝜈𝜈 =

𝑐𝑐

λ

    𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜈𝜈′ =

𝑐𝑐

λ

 ′ 

 

λ

𝑐𝑐 −

λ

𝑐𝑐 =

𝑚𝑚

0

𝑐𝑐

2

(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 

λ

λ

=

𝑚𝑚

0

𝑐𝑐 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

 

λ

=

𝑚𝑚

0

𝑐𝑐 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)

 

∆ λ

 

is known as 

Compton shift. 

Different cases 

  If 

𝑐𝑐=0

o

then ∆ λ=0. 

  If 

𝑐𝑐=90

o

, then ∆ λ=

𝑚𝑚

𝑒𝑒

𝑐𝑐

=0.0242 A

o

This constant value is called 

Compton wavelength. 

 

  If 

𝑐𝑐=180

o

, then ∆ λ=

2ℎ

𝑚𝑚

𝑒𝑒

𝑐𝑐

=0.0484 A

o

This is the maximum wavelength.

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

S.NO 

RGPV QUESTIONS 

Year 

Marks 

Q.1 

What is Compton effect? Explaining the Compton expression, 

discuss the various possibilities of X-ray scattering? 

June 

2012 

14 

Q.2 

An X ray photon of Wavelength 0.4A

is scattered through an 

angle of 45

o

 by a loosely bound electron. Find the wavelength of 

the scattered photon. 

DEC 
2013 

 

 

background image

14 

 

UNIT 1/LECTURE 6 

 

 Characteristics of wave function: [RGPV June 2013 (7)] 

 

 
 

Waves in general are associated with quantities that vary periodically. For example, 

water waves involve the periodic variation of the height of the water surface at a point. 
Similarly, sound waves are associated with periodic variations of the pressure. 

 

In  the  case  of  matter  waves,  the  quantity  that  varies periodically is called 

‘wave function’

The wave function, represented by ψ, associated with matter waves  has  no  direct  physical  

significance.   It  is  not an observable quantity. But the value of the wave function is related to 

the probability of finding the body at a given place at a given time. The square of the absolute 

magnitude of the wave function of a body evaluated at a particular time at a particular place is 

proportional to the probability of finding the body at that place at that instant. 

The wave functions are usually complex.  The probability in such a case is taken as 

ψ∗ψ, 

i.e. the product of the wave function with its complex conjugate. Since the probability of 

finding the body somewhere is finite, we have the total probability over all space equal to 
certainty. 

i.e.

∫ ψ∗ψ dV = 1 

 

(1)

 

Equation (1) is called the normalization condition and a wave function that obeys the equation 
is said to be 

normalized. Further,  must be single valued since the probability can have only 

one value at a particular place and time. Since the probability can have any value between zero 
and one, the wave function must be continuous. Momentum being related to the space 
derivatives of the wave function, the partial derivatives ∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y and ∂ψ/∂z

 

must 

also be continuous and single valued everywhere. Thus, the important characteristics of wave 
function are as follows: 
 

(1) 

ψ 

must be finite, continuous and single valued everywhere.  

 

(2) 

∂ψ/∂x,  ∂ψ/∂y  and  ∂ψ/∂z  must be finite, continuous and single valued 

everywhere.  

 

(3) 

ψ 

must be normalizable.  

 
Physical significance of wave function:  
 

We have already seen that the wave function has no direct physical significance. However, it 
contains information about the system it represents and this can be extracted by appropriate 
methods. Even though the wave function itself is not directly an observable quantity, the 
square of the absolute value of the wave function is intimately related to the moving body and 
is known as the probability density. This probability density is the quantum mechanical method 

background image

15 

 

of finding the body at a particular position at a particular time. The wave function carries 
information about the particle’s wave-like behaviour. It also provides information about the 
momentum and energy of the particle at any instant of time. 

 

Schrodinger’s wave equation: [RGPV JUNE 2013, DEC 2013 (7)] 

 
 

The motion of a free particle can be described 

by the wave equation. 

 
 

ψ = A  exp{-i(ωt –kx)} 

(1)

 

But 

ω = 2  πν  = 2π 

(E/h) = (E/ħ)   

and k = 2π/λ  = 2π (p/h) = (p/ħ)   

where  E  is 

the  total  energy  and 

p  is  the  momentum  of 

 

the particle. Substituting in the equation (1), we get, 
 

ψ = A exp{-i (Et-px)} 

 

(2)

 

 

ħ 

 

 

 

  

Differentiating  equation  (2)  with 

respect  to 

x twice, we get, 

 

 

2

ψ =  -p

2

 

ψ  or p

2

ψ = – 

ħ

2

  . 

2

ψ 

(3)

 

∂x

2

 

ħ

2

 

∂x

2

 

 

 

Differentiating equation (2) with respect to t, we get, 

 

 

∂ψ 

=

 

– iE

 

ψ  or E ψ  = – 

ħ . ∂ψ 

(4)

 

∂t 

 

ħ 

 

i   ∂t 

 

The total energy of the particle can be written as 

E

 

=

  p

2

  + U 

 

(5)

 

 

 

2m

 

 

 

 

 
 

Where U is the potential energy of the particle. Multiplying both sides of the equation by ψ 

 

ψ   =  p

2

ψ  + Uψ 

(6)

 

2m

 

 

 
Substituting for E

ψ and p

2

ψ from equation (1.42) and (1.43) 

background image

16 

 
 

– 

ħ  ∂ψ  =  – ħ

2

 

2

ψ  + Uψ 

(7)

 

i

 

∂t 

2m

 

∂x

2

 

 

 

This is known as 

Schrodinger’s time dependent equation in one dimension. 

 

 

 

 

The wave function ψ in equation (2) may also be written as 

 

ψ  = A exp {-i (Et-px)} = A exp (-iEt). exp (ipx) 

 

ħ 

ħ 

ħ

 

 

ψ =  Φ exp (-iEt) 

(8 ) 

ħ 

 
where Φ is a position dependent function. Substituting this form of ψ in equation (6), 

 

 

 

E

Φ exp(-iEt)  =  p

2

 

Φ exp(-iEt) + UΦ exp(-iEt) 

ħ 

2m

 

ħ 

ħ 

 
 

or E

Φ exp(-iEt) = – 

ħ

2

  . 

2

Φ . exp(-iEt) + UΦ exp(-iEt)

 

ħ 

2m   ∂x

2

 

ħ 

ħ

 

 
or

 

2

Φ exp(-iEt)  + 2m (E-U)Φ exp(-iEt)  =  0 

∂x

2

 

ħ      ħ

2

 

ħ

 

or  

2

ψ  +  2m (E-U)ψ 

=  0

 

(9)

 

∂x

2

 

ħ

2

 

 

 

 

 
This is the Schrodinger’s wave equation in one dimension. In three dimensions, the above 
equation may be written as 

 

2

ψ + 

2

ψ + 

2

ψ + 2m(E-U)ψ = 0 

∂x

2

 

∂y

2

 

∂z

2

 

ħ

2

 

 

or

 

2

ψ + 2m(E-U)ψ =0 

ħ

2

 

 

This equation is known as 

the steady state or time independent Schrodinger wave equation in 

three

 dimensions. 

 
 
 
 
 

background image

17 

 
 

S.NO 

RGPV QUESTION 

YEAR 

MARKS 

Q.1 

Discuss the concept of wave function 

associated with the particle. Give 

examples of admissible wave function. 

Why derivatives of wave function 

should be continuous everywhere? 

JUNE2013 

Q.2 

 Derive  Schrodinger’s time dependent 

equation for matter wave? 

DEC 2013 

 

 

 

 

 

 

 

 

background image

18 

 

UNIT 1/LECTURE 7 

 

APPLICATIONS OF SCHRODINGER’S EQUATION: [RGPV Dec2013 (7)] 

 

Case of a free particle:  

 

A free particle is defined as one which is not acted upon by any external force that 

modifies its motion. Hence, the potential energy U in the 

Schrodinger’s equation is a constant 

and does not 

depend on position or time. For convenience, the potential energy may be 

assumed to be zero. Then, the Schrodinger’s equation for the particle becomes 

 
 

2

ψ  + 2m Eψ 

=  0

 

(10)

 

∂x

2

 

ħ

2

 

 

 

 

Where E is the total energy of the particle which is purely kinetic. This is of the form, 

 

2

ψ + k

2

ψ   = 0 

∂x

2

 

 

Where k

2

 

= 2mE/ħ

2

The solution of this equation may be written as 

 

ψ = A cos kx + B sin kx 

 

 

Solving

 

for   the   constants   A   and   B   pose   some 

difficulties because we cannot apply any 

boundary conditions on the wave function as it represents a single wave which is not localized 

and not normalizable. Since the solution has not imposed any restriction on the value of k, the 

free particle is permitted to have any value of energy given by the equation, 

 

E = ħ

2

k

2

/2m

 

 

Since the total energy is purely kinetic, the momentum of the particle would be p = ħk or h/λ. 
This is just what we would expect, since we have constructed the Schrodinger equation to yield 
the solution for the free particle corresponding to a de Broglie wave. 

 

Particle in a one dimensional potential box: 

The simplest problem for which Schrodinger’s 

time independent equation can be applied and 

solved is the case of a particle trapped in a box with impenetrable walls. 

 

Consider a particle of mass m and energy E travelling along x-axis inside a 

box of width L. The particle is thus restricted to move inside the box by reflections at x=0 and 

x=L (Fig. 1). 

 

 

 

 

 

 

 

 

background image

19 

 
 

 

The particle does not lose any energy when it collides with the walls and hence the total energy 

of the particle remains constant. The potential energy of the particle is considered to be zero 

inside the box and

 

Infinite outside. 

Since the total energy of the 

particle cannot be infinite, it is 

restricted to move within the box. The example is an oversimplified case of an electron acted 

upon by the electrostatic potential of the ion cores in a crystal lattice. Since the particle cannot 

exist outside the box, 

 

ψ = 0               for      x ≤ 0       and      x ≥ L   

             

(1)

 

 

 

We have to evaluate the wave function inside the box. 

The Schrodinger’s equation (1.48) becomes 

2

ψ  +  2m  Eψ   =  0  for  0 < x < L 

(2)

 

∂x

2

 

ħ

2

 

 

 

 

ψ  =  A sin (2mE)

1/2

  x + B cos (2mE )

1/2

   x

 

(3)

 

 

ħ

2

 

ħ

2

 

 

 
 

where A and B are constants. 
 

Applying the boundary condition that ψ=0 at x = 0, equation 3 becomes 
 
         A sin 0 + B cos 0 = 0 or B = 0.  

 
Again, we have ψ = 0 at x = L. Then, 
 
 

A.sin(2mE)

1/2

.L=0 

 

ħ

2

 

If A = 0, the wave function will become zero irrespective of the value of x. Hence, A cannot be 

zero. 

 

Therefore, sin(2mE)

1/2

.L=0

 

 

ħ

2

 

 

or (2mE)

1/2

L=n

π 

Where n=1,2,3 ..

 

(4)

 

ħ

2

 

 

 

From  (4), the energy eigen values may be written as 

E

n

  =

  n

2

π

2

 

ħ

2

 

Where n = 1,2,3,… …

 

(5)

 

2mL

2

 

 

From this equation, we infer that the energy of the particle is discrete as n can have integer 
values. In other words, the energy is quantized. We also note that n cannot be zero because in 
that case, the wave function as well as the probability of finding the particle becomes zero for 

background image

20 

 
all values of x. Hence, n = 0 is forbidden. The lowest energy the particle can possess is 
corresponding to n = 1 and is equal to 
 

E

1

 = 

π

2

ħ

2

 2mL

2

 

 
This is called ‘ground state energy’ or ‘zero point energy’. The higher excited states will have 
energies like 4E

1

, 9E

1

, 16E

1

, etc. This indicates that the energy levels are not equally spaced. 

 

The wave functions or the Eigen functions are 

given by 

 
 

ψ

n

 

= A. Sin

 

2mE

n

1/2

  x 

 

 

 

 

ħ

2

 

 

 

or   ψ

n

 

=

  A. Sin 

n

π x  

(6)

 

 

 

 

L

 

 

 

Applying the normalization condition, 

 

i.e.  

∫ A

2

  Sin

2

  n

πx . dx  =  1 

(7)

 

 

 

L

 

 

 

 

 

Since the wave function is non-vanishing only for 

 

0 < x < L, it can be shown that

 

 

∫ Sin

2

  n

πx  dx 

= (L )

 

(8)

 

L

 

 

2

 

 

Substituting in equation (8), we have 

 

A

2

  (L )  = 1

  or 

A = ( 2 )

1/2

 

(9)

 

2

 

 

L

 

 

 

The eigen function or wave functions in equation (9) becomes 

 

ψ

n

  = ( 2 )

½

  sin  (2mE

n

)

½

  x

 

 

ψ

n

  = ( 2 )

½

  sin  n

πx 

 

 

L

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

background image

21 

 
     

 

Fig. (2) shows the variation of the wave function inside the box for different values of n and 
Fig.(3) shows the probability densities of finding the particle at  different  places 

inside  the  box  

for  different 

values  of  n.   Thus,  wave  mechanics suggests  that  the 

probability  of  finding  any  

particle  at  the  lowest 

energy level is maximum at the centre of the box which is in agreement 

with the classical picture. However, the probability of finding the particle in higher energy states 
is predicted differently by the two formulations. 
 

 

 

                                                             

 

S.NO 

RGPV QUESTION 

YEAR 

MARKS 

Q.1 

Obtain an expression of energy levels 

for particle trapped in one dimensional 

square with infinitely deep potential 

well. 

Dec2013 

 

 

 

 

 

UNIT 1/LECTURE 8 

  

   Q1. X-rays  of  wavelength  1.54  A

o

  are  Compton  scattered at  an angle of 60

o

.  Calculate the 

change in the wavelength. 

 

Solution: 

 

Change in wavelength = ∆λ = h (1-cos θ) /m

o

c

 

 
 

h (1-cos 60

0

)/ m

o

c

 

 

=

  = 1.2 x 10

-12

m (Ans).  

 
 
Q2. 

In  a  Compton  scattering  experiment,  incident  photons of energy 10 KeV are scattered at 

45

o

 to the incident beam. Calculate the energy of the scattered photon. 

 

Solution: 

 

Change in wavelength = ∆λ = h (1-cos θ) m

o

c

 

 

= 7.1 x 10

-13

m.  

 

Wavelength of incident photon = λ = hc/eE 

 

= 1.243 x 10

10

m.  

Wavelength of scattered photon =λ’= λ + ∆λ 

 

background image

22 

 

= 1.25 x 10

10

m.  

Energy of scattered photon = hc/λ’ 

 

=

  1.59 x 10

-15

 J  

 

=

  9.93 keV (Ans).  

 
 
Q3.

Gamma Rays of energy 0.5 MeV are scattered by electrons. What is the energy of scattered 

gamma rays  at a scattering angle of 30

o

? What is the kinetic energy of scattered electron? 

 

Solution: 

 

Wavelength of incident gamma rays = λ = hc/E 

 

=

  6.62×10

-34

x3x10

8

/1.6×10

-19

x0.5×10

6

  

 

=

  2.486 x 10

-12

m.  

 

Change in wavelength  = 

∆λ = h  (1-cos θ) 

 

m

o

c

 

=

 3.24 x 10

-13

m.

 

 

Wavelength of scattered photon =λ’= λ + ∆λ 

 

2.81 x 10

-12

m.  

Kinetic energy of the scattered electron = hc/λ’

 

 

= 0.442 MeV (Ans).

 

 

 

Q4.  

X-rays   of   wavelength   1.5   A

o

   are   Compton 

scattered. At what angle will be scattered x-

rays have a wavelength of 1.506 A? 

 

Solution: 

 

Change in wavelength = ∆λ = h (1-cos θ) m

o

c

 

 

cos 

θ = (1 – m

0

c. 

∆λ/h) = (1 – 0.247) =0.753  

Angle of scattering,θ = 41.2

0

 (Ans).

 

 

 
Q5.

Calculate the de Broglie wavelength associated with an electron travelling with a velocity of 

10

5

 ms

-1

. Assume the mass of the electron to be 9.1 x 10

-31

kg. and h = 6.62×10

-34

Js. 

Solution: 

 

De Broglie wavelength λ = h 

=  6.62 x 10

-34

____

 

P

 

9.1 x 10

-31

x10

5

 

 

λ  = 7.27 x 10

-9

  m. (Ans.) 

 

 

 

 

 

 

 

background image

23 

 
 

 

UNIT 1/LECTURE 9/ADDITIONAL TOPICS 

 
Photoelectric effect 

                  

The photoelectric effect occurs when matter emits electrons upon exposure to 

electromagnetic radiation, such as photons of light. Here’s a closer look at what the photoelectric effect 

is and how it works. 

 

The photoelectric effect is studied in part because it can be an introduction to wave-particle 

duality and quantum mechanics. 

When a surface is exposed to sufficiently energetic electromagnetic energy, light will be 

absorbed and electrons will be emitted. The threshold frequency is different for different 

materials. It is visible light for alkali metals, near-ultraviolet light for other metals, and extreme-

ultraviolet radiation for nonmetals. The photoelectric effect occurs with photons having 

energies from a few electronvolts to over 1 MeV. At the high photon energies comparable to 

the electron rest energy of 511 keV, Compton scattering may occur pair production may take 

place at energies over 1.022 MeV. 

Einstein proposed that light consisted of quanta, which we call photons. He suggested that the 

energy in each quantum of light was equal to the frequency multiplied by a constant (Planck’s 

constant) and that a photon with a frequency over a certain threshold would have sufficient 

energy to eject a single electron, producing the photoelectric effect. It turns out that light does 

not need to be quantized in order to explain the photoelectric effect, but some textbooks 

persist in saying that the photoelectric effect demonstrates the particle nature of light.  

 
 
 
 

Leave a Comment